ماده الرياضيات درس الوسيط

Admin المساهمات : 174 تاريخ التسجيل : 23/08/2008

بإذن الله تعالى سأحاول أن أضع سلسلة شروحات لدروس ومواضيع لمحبي مادة الرياضيات بجميع فروعه .

وأرجوا لكم قضاء وقت ممتع .. وإذا وجدت أي نقطة غير مفهومة أو صعبة يرجى تنبيهي بها حتى يمكنني

المساعدة . وأتمنى لكم الإستفادة

سنبدأ سلسلة الشروحات بفرع الإحصاء ..

1- الدرس الاول (( الوسيط ))

الوسيط لمجموعة من الأرقام مرتبة حسب قيمها (في ترتيب تصاعدي أو تنازلي) هي القيمة التي تتوسط البيانات التي تقع في المنتصف أو الوسط الحسابي للقيمتين اللتين تتوسطان البيانات أو تقع في منتصف البيانات، أي تقسمها البيانات إلى قسمين متساويين.

مثال 1 = إذا كان حجم العينة رقم فردي، مجموعة الأرقام 3,4,4,5,6,8,8,8,10 وسيطها هو 6 .

مثال 2 = إذا كان حجم العينة عدد زوجي، مجموعة الأرقام 5,5,7,9,11,12,15,18 وسيطها هو ماده الرياضيات درس الوسيط Half

أما في البيانات المبوبة فإننا نحصل على الوسيط بطريقة الاستكمال ويحسب كالآتي :

( Cool

......

حيث :

= الحد الأدنى الحقيقي للفئة الوسيطية (أي الفئة التي يقع فيها الوسيط) .
n = عدد العناصر في البيانات (مجموع التكرارات) .
ماده الرياضيات درس الوسيط Sf1

= مجموع التكرارات لجميع الفئات قبل الفئة الوسيطية .
f median = تكرار الفئة الوسيطية .
c = طول الفئة الوسيطية .

ويمكن التعبير هندسياً عن الوسيط بأنه القيمة X على الإحداثي السيني التي إذا رسم عندها عمود رأسي فإنه يقسم المدرج التكراري إلى جزءين متساويين ويعبر عن هذه القيمة أحياناً بــــ ماده الرياضيات درس الوسيط Xh

أتمنى لكم الإستفادة و هذه أمثلة مع حلولها على الموضوع :

--------------------------------------------------------------------------

مثال (1) : إذا كان أجر الساعة لخمسة عاملين في مصنع هو 9.20$, 3.75$, 3.96$, 3.28$, 2.52$ أوجد :

(أ) وسيط أجر الساعة .
(ب) الوسط الحسابي لأجر الساعة .

الحل :

9.20$, 3.75$, 3.96$, 3.28$, 2.52$

وبما أن عدد القيم فردي ترتيب الرقم الوسيط = ماده الرياضيات درس الوسيط E3

، فإن هناك قيمة واحدة في المنتصف حيث نأخذ الترتيب رقم (3) وهي 3.75$ وهي الوسيط المطلوب.

ب) الوسط الحسابي هو : ماده الرياضيات درس الوسيط Ed454

لاحظ أن الوسيط لم يتأثر بالقيمة المتطرفة (9.20$) بينما تأثر بها الوسط الحسابي . وفي هذه الحالة فإن الوسيط يعطي دلالة أفضل على معدل أجر الساعة عن الوسط الحسابي .

----------------------------------------------------------------------------

مثال (2) : يوضح الجدول الآتي أطوال 40 طالباً ، أوجد الطول الوسيط ؟

(أ) وسيط أجر الساعة .
(ب) الوسط الحسابي لأجر الساعة

فئات الطول ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، التكرار

118-126 ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، 3
127- 135 ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، 5
136 - 144 ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، 9
145 - 153 ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، 12
154 - 162 ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، 5
163 - 171 ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، 4
172 - 180 ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، 2

المجموع 40

إن الوسيط في هذه الحالة هو الطول الذي يقع نصف التكرار الكلي قبله (20= ماده الرياضيات درس الوسيط E402

) والنصف الآخر بعده .

وحيث أن مجموع تكرارات الفئات الثلاثة الأولى هو 17=9+5+3 وحتى نحصل على الرقم المطلوب 20 فإننا نحتاج إلى 3 أرقام من الــــ 12 حالة الموجودة في الفئة الرابعة .

وبما أن الفئة الرابعة 153 - 145 هي في الحقيقة تقابل الأطوال 144.5 - 153.5 فإن الوسيط يقع في المسافة ماده الرياضيات درس الوسيط E312

بين 144.5 و 153.5 أي أن الوسيط هو :

ماده الرياضيات درس الوسيط E144-5

أما الطريقة الثانية :

فباستخدام طريقة الاستدلال الرياضي حسب الصيغة (7) بما أن مجموع التكرارات المقابلة للفئات الثلاث الأولى والفئات الأربع الأولى على الترتيب 17=9+5+29 , 3 =12+9+5+3 فإن الوسيط يقع في الفئة الرابعة والتي هي بالتالي الفئة الوسيطية . وبهذا :

ماده الرياضيات درس الوسيط L1

= الحد الأدنى للفئة الوسيطية = 144.5
n (مجموع التكرارات) = حجم العينة = 40
ماده الرياضيات درس الوسيط Sf1

= مجموع التكرارات لجميع الفئات قبل الفئة الوسيطية 17=9+5+3
f median = تكرار الفئة الوسيطية وهو 12.
c = طول الفئة الوسيطية وهو 9.

وبهذا فإن

ماده الرياضيات درس الوسيط Be

= الوسيط ماده الرياضيات درس الوسيط Xhe

الدرس الثاني 2 : الوسط الحسابي

في بعض الأحيان نقرن بعض الأرقام ماده الرياضيات درس الوسيط X1xk

بمعاملات ترجيح أو أوزان ماده الرياضيات درس الوسيط W1wk

وهذه تعتمد على الدلالة أو الأهمية المرتبطة بهذه الأرقام ، وفي هذه الحالة فإن :

ماده الرياضيات درس الوسيط Xbw

يسمى بالوسط الحسابي المرجح . ويلاحظ هنا أوجه الشبه بالمعادلة (2) التي يمكن اعتبارها وسطاً
حسابياً مرجحاً بأوزان ماده الرياضيات درس الوسيط F1fk

مثال :
إذا أعطي الامتحان النهائي في مقرر ما وزناً يعادل ثلاثة أمثال الامتحانات الشفوية ، وإذا حصل طالب في الامتحان النهائي على 85 وفي الامتحانات تقديره هو :

الدرس الثالث 3 : خصائص الوسط الحسابي

(أ) المجموع الجبري لانحرافات القيم عن وسطها الحسابي يساوي صفراً .

ماده الرياضيات درس الوسيط S0

مثال :

انحرافات الأرقام 10,12,5,3,8 عن وسطها الحسابي 7.6 هي :

5 - 7.8 = - 2.6,3 - 7.6 = 4.6,8 - 7.8 = 0.4,

12 - 7.6 = 4.4, 10-7.6 = 2.4

= -2.6 - 4.6 + 0.4 + 4.4 + 2.4= - 7.2 + 7.2 = 0 ماده الرياضيات درس الوسيط Mxinxb

(ب) مجموع مربعات انحرافات مجموعة من الأرقام X عن أي رقم a يكون أصغر ما يمكن في حالة واحدة فقط إذا كانت

جـ) الوسط الحسابي لعدة مجموعات عبارة عن الوسط الحسابي المرجح لكل وسط حسابي لكل مجموعة مرجحاً بحجم هذه المجموعة .

ماده الرياضيات درس الوسيط Xbfm

حيث m هي الوسط الحسابي للمجموعة f ، i عدد أفراد هذه المجموعة .

مثال :

أخذت عينة عشوائية من خمسين عاملاً من عمال أحد المصانع الحربية فوجد أن متوسط أجر العامل هو 75 ديناراً شهرياً ، ومن عينة أخرى من مائة عامل من عمال أحد مصانع المعلبات فوجد أن متوسط أجر العامل هو 49.2 ديناراً ، ومن عينة ثالثة لأحد مصانع الحديد والصلب من مائة وخمسين عاملاً وجد أن متوسط أجر العامل الشهري هو 105 دنانير .
المطلوب إيجاد الوسط الحسابي لأجر العامل الشهري في المصانع الثلاثة .

ماده الرياضيات درس الوسيط Xb81

د) إذا كانت A أي وسط حسابي افتراضي (يمكن أن يكون أي رقم) وإذا كان هو انحرافات Xj عن A فإن المعادلتين السابقتين (1) ، (2) ستصبحان على الترتيب كما يلي :

ماده الرياضيات درس الوسيط Xb6

حيث

لاحظ أن المعادلة السابقة وما قبلها يمكن تلخيصهما بالمعادلة

ماده الرياضيات درس الوسيط Xbad

هذا هو شرح لموضوع خواص الوسط الحسابي .

غداً سوف نضع شرحاً عن موضوع المحددات وخواص المحددات . موضوع جميل وشيق .

مع تحياتي عزوز زياره المدير ر